2024.9.24
最近写了blanced的草稿，若无出错，接下来尝试用进阶方法将指标sharp，甚至完全不使用乘子去得到有界域的结果，想想大有可为，算个能写东西的方向。今日得知十月中旬将去大连参(玩)会(耍)，在此期待一把。
2024.8.11
七月末在云南大学跟章志飞老师学习。课间有茶歇，惊喜！纸杯摇了咖啡、汽水或橙汁儿，端着盛满糕点、蛋挞、布丁的生日蛋糕托盘，就着知识，狼吞虎咽，过于幸福，终在某日进食过多，学了乖，后来便拿个不腻的细嚼。本科认识的浙大学长已是章老师博士生，竟也同在，昔日网友终于得以面基，也知晓不少前辈，颇似江湖武林各门各派共襄盛举，茶歇神奇，便在于此。午饭由云南大学招待，师生凭券可吃自助，东拼西凑，做得个黑暗拼盘，倒杯柠檬水，饭后再偷偷拿走两瓶酸奶，不可谓不惬意。
下午多是自由时间，有时摊在宾馆柔软大床上发呆，或边吃便宜美味的水果边想问题。昆明地广路宽，上下坡多，小电驴多而单车少。天空宽广，若是稍晴的天，云悠悠然来去，也不觉高原气疏，心也宽广。云南多雨，巧的是我见了五六日晴天。有时和师兄师姐外出觅食，尝到饵块颇具特色，似年糕而软糯，酱肉饼香。此处夜市不像天津，七八点就打了烊，像那仕林烧烤更是开到子时，价廉而食物繁多，里区烟雾缭绕，人间烟火当是如此。在云南，菌子不得不尝，火锅里放见手青与黑松露等，鸡汤为底，鲜而有险，上菜后不发餐具，按一闹钟在桌板，煮半小时才好，逗小二问不煮熟能否看见小人跳舞，小二窘迫笑着连说不知不知，就是不放心才要等上半小时，便轮到我们一行人心里发慌。在民族村吃到过桥米线，一大碗面同几只小碟，按顺序放入面汤，热乎完即可，所谓“过桥”。傣族的手抓饭盛一大圆盘中，量大，食物品种繁多，虫子嘎嘣脆，好吃也不敢多吃，土豆丝则沾折耳根味儿，云贵川一家可见一斑。学会用APP花一两块买些饮品甜点，种草了橄榄汁、泡鲁达，大理的烤乳扇也美味。
斗南花市满足一个人对花的向往，抛去审美刻板印象，花环戴上，花丛中游弋，为情绪买单，好不快活。花市热闹后也清冷，摆摊人儿受生活之重，每天都见花，不会去笑，买主光顾偶尔游离笑容。卖花而喜欢花，是幸运、难得、对生活无比积极人之专属，离此状态还有漫漫长路。云南的花多而贱，花市落后去地上还能寻得零落几枝，便去捡起来端详，悟得花朵富饶和贫瘠之地的人也许都无法对彼此进行想象。昆明滇池与大理洱海是好去处，滇池边上租辆二、三人车，慢悠悠踏板环湖而行，再抽掉几帧，有王家卫风格，可惜滇池老人和鸽子的故事看不见。因不会骑小电驴，在大理住海景房，游洱海左面时全程挂在师兄后座。其时天朗气清，风解风情，霎时抬头望去，画卷恢弘，同洱海一色；若游荡到子夜，星同银河悉数落入眼眸，世间有此景色，梦幻无比。
云南大学大，绿化多，能给三环方寸间的人一点小小震撼。饭后可去湖边游走，有黑白孔雀匿于林间，有小友喂食一群黑天鹅，姿态各异。一日便在一师兄怂恿下去校内操场跑步，校园太大，觅一小黄车终于在大一后再次骑行，上下坡和减速带使我露怯。路过宿舍区，种满梨树，和师兄师姐偷摘几个，才发现告示牌，迅速溜走。跑步起初无感，后竟吃力起来，至2公里遂停。师兄向来此训练的外校体育生学习跨栏动作，交谈才知高海拔对运动的影响，其时奥运马拉松选手也在云贵高原集训。出场一看租的单车少了一辆，只好边吃梨边走回府，其时晚八点，正是日落时分。我也去西南联大——今云南师范大学瞧了瞧，战乱，却名师云集，学生中大师辈出，是破碎年代给予追求真理之人梦想之地，此行朝圣。还看到杨、李两位诺奖得主学习痕迹、当年数学考卷等，十分有趣。
一周前国内博后制度的缔造者——李政道先生去世，他在1951年写过一篇《2D流体和3D流体之间湍流的差异》，粗浅翻译，看看物理学家对流体的看法
2D和3D流体之间的差异可由涡度方程轻松看出：
\[\displaystyle \partial_t\omega + v\cdot\nabla\omega = \nu\Delta\omega + \omega\cdot\nabla v\]
其中\(\omega,v,\nu\)分别是涡度、速度、运动学粘性。2D情形\(\omega\cdot\nabla v=0\)，若忽略粘性，涡度将永远不变(ps: 只是输运)，且涡流之间的能量散射也不会引起涡度改变(ps: 应是\(L^2\)层面)。该守恒律禁止了2D流体的ergodic hypothesis实现，正如时新的湍流统计理论(by Kolmogoroff 1941)所揭示，易得矛盾存在。2D下对涡度方程乘上\(\omega\)，transforming it到wave number space：
\[\displaystyle -\partial_t\int_0^{\infty}F(k)k^2{\mathrm d}k = 2\nu\int_0^{\infty}F(k)k^4{\mathrm d}k\]
其中\(F(k)\)是2D湍流的能谱(ps: \(\sim|\hat{\omega}|^2\))，\(k\)是wave number。由定义，用涡流之间能量传递的Heisenberg形式，对湍流稳态\(K(k)\)有如下形式
\[\displaystyle F(k)=\frac{1}{3}v_0^2k_0^{\frac{2}{3}}k^{-\frac{5}{3}},\ k_0\leq k<k_*,\ \frac{k_*}{k_0}=0.22(R_0\kappa)^{\frac{3}{4}}\Rightarrow k_*\sim \frac{\kappa v_0}{\nu}k_0^{\frac{1}{4}}\]
其中\(\kappa\)是涡流粘性系数，\(R_0=\frac{\pi v_0}{v k_0}\)是Reynolds数，知\(k_0\sim(R_0\kappa)^{-1}\)。对湍流稳态有
\[\displaystyle -\partial_t\int_0^{\infty}F(k)k^2{\mathrm d}k = -\partial_t\int_0^{k_0}F(k)k^2{\rm d}k(\sim [1/\Delta t\sim v_0/l_0]\times v_0^2k_0^2=v_0^3k_0^3)<C k_0^3v_0^3\kappa\]
\[\displaystyle 2\nu\int_{k_0}^{k_*}F(k)k^4{\rm d}k\sim\frac{2\nu}{5}v_0^2k_0^{\frac{2}{3}}k_*^{\frac{10}{3}}\Rightarrow \frac{-\partial_t\int_0^{\infty}F(k)k^2{\rm d}k}{2\nu\int_0^{\infty}F(k)k^4{\rm d}k}\lesssim\frac{v_0}{\nu}\frac{k_0^{\frac{7}{3}}}{k_*^{\frac{10}{3}}}\lesssim k_0^{\frac{3}{2}}\sim R_0^{-3/2}\kappa^{-3/2}\]
易见这与等式矛盾，上式仅用了\(F(k)\)在Kolmogorov region(\(F(k)\propto k^{-5/3}\))，此矛盾在假设2D湍流的Kolmogorov region存在后始终保持。而在3D情形，涡度可能通过涡丝(vortex filament)的扩张，应用涡度方程不会导出任何矛盾(see T. D. Lee 1950)。作者感谢海森堡教授。
2024.3.30
今日见一好文直接引入\(H^s\)乘积估计，其实分频已经够用
\[\displaystyle (\hat{u}*\hat{v})(\xi)=(\int_{|\eta|\leq\frac{1}{2}|\xi-\eta|}+\int_{|\xi-\eta|\leq\frac{1}{2}|\eta|}+\int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq2|\eta|})\hat{u}(\eta)\hat{v}(\xi-\eta){\rm d}\eta.\]
记\(J_{lo,hi}(u,v)(\xi),\ J_{hi,lo}(u,v)(\xi),\ J_{hi,hi}(u,v)(\xi)\)，第一项对应\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d}\langle\xi\rangle^{2s}|\int_{|\eta|\leq\frac{1}{2}|\xi-\eta|}\hat{u}(\eta)\hat{v}(\xi-\eta){\rm d}\eta|^2{\rm d}\xi\)，易知\(\frac{1}{2}|\xi-\eta|\leq|\xi|\leq\frac{3}{2}|\xi-\eta|,\ i.e.\ |\xi|\sim|\xi-\eta|\)，故
\[\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d}\langle\xi\rangle^{2s}|J_{lo,hi}(u,v)(\xi)|^2{\rm d}\xi\sim\int_{\mathbb{R}^d}|\int_{|\eta|\leq\frac{1}{2}|\xi-\eta|}\hat{u}(\eta)\langle\xi-\eta\rangle^{2s}\hat{v}(\xi-\eta){\rm d}\eta|^2{\rm d}\xi\leq\|u\cdot\langle-\Delta\rangle^{s/2}v\|_{L^2}^2\leq\|u\|_{L^{\infty}}^2\|v\|_{H^s}^2.\]
若将\(J_{lo,hi}\)换成更一般\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d}m_{lo,hi}(\xi,\eta)\hat{u}(\eta)\hat{v}(\xi-\eta){\rm d}\eta\)，乘子\(m_{lo,hi}(\xi,\eta)\)支在\(\{|\eta|\leq\frac{1}{2}|\xi-\eta|\},\ \|m_{lo,hi}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{2d})}\leq 1\)，该乘子定义的映射称Coifman-Meyer映射，记为\(\pi_{lo,hi}(u,v):\ \hat{\pi_{lo,hi}}(u,v)(\xi):=\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d}m_{lo,hi}(\xi,\eta)\hat{u}(\eta)\hat{v}(\xi-\eta){\rm d}\eta\)，则成立
Theorem \(u\in L^{\infty},\ v\in H^s,s\in\mathbb{R}\)，则\(\pi_{lo,hi}(u,v)\in H^s,\ \|\pi_{lo,hi}(u,v)\|_{H^s}\lesssim\|u\|_{L^{\infty}}\|v\|_{H^s}\).
这一项代表\(u\)频率显著低于\(v\)，对\(u\)提正则性无法高于\(v\)，卷积使低阶导转移到\(v\)上. 第二项由对称性同理. 记
\[\displaystyle \hat{\pi_{hi,hi}}(u,v)(\xi):=\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d}m_{hi,hi}(\xi,\eta)\hat{u}(\xi-\eta)\hat{v}(\eta){\rm d}\eta,\ supp\ m_{hh}\subset\{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|\},\ \|m_{hi,hi}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^d)}\leq 1\]
由Cauchy-Schwarz不等式
\[\displaystyle \|\hat{\pi}_{hi,hi}(u,v)(\xi)\|_{H^s}^2\leq\|u\|_{H^t}^2\int_{\mathbb{R}^d}\langle\xi\rangle^{2s}{\rm d}\xi\int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|}\langle\xi-\eta\rangle^{-2t}|\hat{v}(\eta)|^2{\rm d}\eta\]
当\(s>-\frac{d}{2}\)，因\(|\xi-\eta|\sim|\eta|\)，\(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|}\langle\xi\rangle^{2s}{\rm d}\xi\lesssim\int_{B(0,|\eta|/2)}\langle\xi\rangle^{2s}{\rm d}\xi+\int_{B(0,3|\eta|)\backslash B(0,|\eta|/2)}\langle\eta\rangle^{2s}{\rm d}\eta\lesssim I_s(|\eta|/2)+\langle\eta\rangle^{2s+d}\)，其中
\[\begin{align} \displaystyle I_s(R) = \int_{B(0,R)} \langle \xi \rangle^{2s} = \int_{0}^{R} r^{d-1} (1+r)^{2s} {\rm d}r \lesssim \begin{cases} \frac{\langle R\rangle^{2s+d}}{2s+d},\ s>-\frac{d}{2},\\ \log(1+R),\ s=-\frac{d}{2},\\ 1,\ s<-\frac{d}{2}. \end{cases}\end{align}\]
因\(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|}\langle\xi-\eta\rangle^{-2t}\langle\xi\rangle^{2s}{\rm d}\xi\geq cI_s(|\eta|/2)\)，知\(s\leq-\frac{d}{2}\)时丢失正则性. 总之有
Theorem \(u,v\in\mathscr{S},\ s>-\frac{d}{2},t\in\mathbb{R}\)，则\(\pi_{hi,hi}(u,v)\in H^s\)且 \(\displaystyle \|\pi_{hi,hi}(u,v)\|_{H^s}\lesssim_{t,d}\frac{1}{d+2s}\|u\|_{H^t}\|v\|_{H^{d/2+s-t}}\). 对\(s=-\frac{d}{2},\ \forall \epsilon>0\Rightarrow\|\pi_{hi,hi}(u,v)\|_{H^{-\frac{d}{2}-\epsilon}}\lesssim_{t,d}\frac{1}{\epsilon}\|u\|_{H^t}\|v\|_{H^{-t}}\).
Proof: 对后一种情形估计.
\[\displaystyle \int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|}\langle\xi\rangle^{-d-2\epsilon}{\rm d}\xi\lesssim\int_{B(0,\lambda|\eta|)+B(0,\lambda|\eta|)^c}\langle\xi\rangle^{-d-2\epsilon}{\rm d}\xi\lesssim \lambda\log(1+|\eta|)+\frac{1}{\epsilon}\lambda^{-2\epsilon}\langle\eta\rangle^{-2\epsilon}\leq\frac{c}{\epsilon}{\epsilon},\ \lambda=|\eta|^{-1}\]
\[\displaystyle \|\hat{\pi}_{hi,hi}(u,v)(\xi)\|_{H^{-d/2-\epsilon}}^2\leq\|u\|_{H^t}^2\int_{\mathbb{R}^d}|\hat{v}(\eta)|^2{\rm d}\eta\int_{\frac{1}{2}|\eta|\leq|\xi-\eta|\leq 2|\eta|}\langle\xi-\eta\rangle^{-2t}\langle\xi\rangle^{-d-2\epsilon}{\rm d}\xi\lesssim\frac{1}{\epsilon}\|u\|_{H^t}^2\|v\|_{H^{-t}}^2.\ \square\]
事实上\(u,v\)频率接近，卷积可能在原点产生奇性，需\(s\)不能太小，避免损失正则性.
2024.3.29
前几天学到了Nash-Moser可能最简洁的证明和用Lie变换群及无穷小生成元解ode的方法1、2、3获益良多。昨日学到Wu老师文章提到的两个\(L^\infty\)估计：
Lemma (R. Danchin & M. Paicu) 对任何满足\(1/s_1+1/s_2<2\)的正实数数对\(\displaystyle (s_1,s_2),\ \exists C>0\ s.t.\ \|u\|_{L^{\infty}}\leq C(\|u\|_{L^2}+\||\partial_1|^{s_1}u\|_{L^2}+\||\partial_2|^{s_2}u\|_{L^2})\).
Proof: Fourier变换得
\[\displaystyle \|\hat{u}(\xi)\|_{L^2}^2 \leq \int (1+|\xi_1|^{2 s_1}+|\xi_2|^{2 s_2})|\hat{u}(\xi)|^2{\rm d}\xi \int (1+|\xi_1|^{2 s_1}+|\xi_2|^{2 s_2})^{-1}{\rm d}\xi\]
故只要可积:\(\displaystyle\int (1+|\xi_1|^{2s_1}+|\xi_2|^{2s_2})^{-1}{\rm d}\xi<\infty\)，作变量替换\(\xi_1=(1+|\xi_2|^{2s_2})^{\frac{1}{2s_1}}\zeta_1\)得
\[\displaystyle \int (1+|\xi_1|^{2s_1}+|\xi_2|^{2s_2})^{-1}{\rm d}\xi=\int(1+|\xi_2|^{2s_2})^{-1+\frac{1}{2s_1}}(1+\zeta_1^{2s_1})^{-1}{\rm d}\zeta_1{\rm d}\xi_2\]
观察知当\(2s_1>1,\ 2s_2(1-\frac{1}{2s_1})>1\)时可积，及题干条件.
P. Zhang老师和Danchin、Paicu先后用Fourier分析工具(Littlewood-Paley分解)给出类似对数不等式，这里follow Hou-Li给出的不同证明
Lemma 设\(f\in H^2(\mathbb{R}^2),\ a>0\)，则成立\(\displaystyle \|f\|_{L^{\infty}}\leq C\sup_{q\geq 2}\frac{\|f\|_{L^q}}{q^a}[\log(e+\|f\|_{H^2})]^a\).
Proof: 令\(B_r\)以原点为心，\(r\)为半径圆盘. \(\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)\)是光滑截断函数，满足\(\phi(0)=1,\ |\nabla\phi|\leq C,\ |\Delta\phi|\leq C,\ supp\ \phi\subset B_1\). 令\(w=f\phi\)，因分布意义下\(\Delta w=0\)及\(w\)紧支集，有Green表示公式\(\displaystyle w^p(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{B_{\epsilon}+B_1\backslash B_{\epsilon}}\log(\frac{|y|}{\epsilon}) \Delta w^p(y){\rm d}y:=I+II\)，因\(\displaystyle \Delta w^p=pw^{p-1}\Delta w + p(p-1)w^{p-2}|\nabla w|^2\)，Hölder(3,2,6)得
\[\displaystyle |I|\leq\frac{p}{2\pi}\epsilon^{2/3}[\|\Delta w\|_{L^2}\|w\|_{L^{6(p-1)}}^{p-1} + (p-1)\|\nabla w\|_{L^4}^2\|w\|_{L^{6(p-2)}}^{p-2}].\]
由嵌入不等式\(\displaystyle \|\nabla w\|_{L^4}\leq C\|w\|_{L^2}^{1/4}\|\Delta w\|_{L^2}^{3/4}\)，对与\(p\)无关\(C\)有
\[\displaystyle |I|\leq Cp\epsilon^{2/3}\|\Delta w\|_{L^2}\|w\|_{L^{6(p-1)}}^{p-1} + Cp(p-1)\epsilon^{2/3}\|w\|_{L^2}^{1/2}\|\Delta w\|_{L^2}^{3/2}\|w\|_{L^{6(p-2)}}^{p-2}.\]
对\(II\)分部积分得\(\displaystyle II=\frac{p}{2}\int_{B_1\backslash B_{\epsilon}}w^{p-1}\frac{y\cdot\nabla w}{|y|^2}{\rm d}y\)，由Hölder(4,2,4)得
\[\displaystyle |II|\leq Cp(\log{\frac{1}{\epsilon}})^{1/2}\|\nabla w\|_{L^4}\|w\|_{L^{4(p-1)}}^{p-1}\leq Cp(\log\frac{1}{\epsilon})^{1/2}\|w\|_{L^2}^{1/4}\|\Delta w\|_{L^2}^{3/4}\|w\|_{L^{4(p-1)}}^{p-1}.\]
令\(I,II\)同系数，即\(\epsilon^{2/3}\|\Delta w\|_{L^2}=1\)或\(\epsilon=\|\Delta w\|_{L^2}^{-3/2},\ p=\log\frac{1}{\epsilon}\)。当\(\|\Delta w\|_{L^2}\leq 1\)时只要令\(0<\epsilon<1\)，则有
\[\displaystyle |w(0)|\leq Cp^{1/p}\|w\|_{L^{6(p-1)}}^{1-1/p}+C(p(p-1))^{1/p}\|w\|_{L^2}^{1/2p}\|\Delta w\|_{L^2}^{1/2p}\|w\|_{L^{6(p-2)}}^{1-2/p} + Cp^{3/2p}\|w\|_{L^2}^{1/4p}\|\Delta w\|_{L^2}^{3/4p}\|w\|_{L^{4(p-1)}}^{1-1/p}\]
用\(p^{1/p}<C,\ (p(p-1))^{1/p}<C\)和\(\displaystyle \|\Delta w\|_{L^2}^{1/2p}=\epsilon^{1/3\log\epsilon}=e^{1/3},\ \|w\|_{L^q}\leq p^a\sup_{q\geq2}\frac{\|w\|_{L^q}}{q^a}\)
得\(\displaystyle |w(0)|\leq C\sup_{q\geq2}\frac{\|w\|_{L^q}}{q^a}(\log(e+\|\Delta w\|_{L^2}))^a\)，注意到\(|f(0)|=|w(0)|,\ \|\Delta w\|_{L^2}\leq C(\|f\|_{L^2}+\|\Delta f\|_{L^2})\leq C\|f\|_{H^2}\)，\(\square\)
最近在探索不光滑的drift和亚椭圆方法能联动的情况，从预解估计可看出不光滑的Weierstrass函数系数幂衰减时有更强耗散，指数衰减时则无；单纯不光滑的\(y^{0<,<1}\partial_x\) drift有更强代数耗散；\(|y|\partial_x\)单纯一点附近不光滑则无，知不光滑点的量不是引起更强耗散的主因。
2024.1.1
去年12月30日去南站接了徐超江老师，徐老师乃仿积分解Bony教授之学生，Bahouri、Chemin老师之同门，后者可谓教科书上人物。问起当年与微局部分析学同行之代数分析日本学派，其抽象视角与pde相性不佳，在这方面似已式微，提起Hörmander的四册书，老师说难度很大，但仍有可能找到宝藏做今日之问。Inviscid damping的笔记写至一半，因加权方法不得要领而鸽之，check了2D-NS平凡解问题的困难，高阶非线性项巍巍然成一大山，知此问题需要时间，也需分析之艺术。接下来读读老板塞过来的paper，顺便看看失去Poincaré不等式后能做些什么。
2023.12.11
一场考试，吹风两个钟头，点牛肚仁、羊杂瓣、白菜豆腐与烧饼，品小吊梨汤，廿八夜大雪。先前看过Bedrossian2019年写的综述，这几天在读Inviscid Damping相关的paper，可能更新笔记。
2023.10.22
最近读Fanghua Lin老师18年的review，突然想起先前老师让我考虑的和still open问题密切相关，比如Lions' problem，我试图说服自己“那可是open problem”但又不想放弃思考。
Fourier分析里的Restriction Conjecture主要研究把Fourier算子限制在某个子集(\(\mathbb{T}^n\)引入了商拓扑，姑且认为我们想要的限制至少需要继承\(\mathbb{R}^n\)的拓扑)上的Fourier分析。
考虑Fourier限制算子：\(\displaystyle \mathcal{R}^{M}_{p,q}\mathcal{F}:f\mapsto\hat{f}|_{M},\ L^p(\mathbb{R}^n)\to L^q(M),\ 1\leq p,q\leq\infty\)是否有界？
由Hausdorff-Young不等式知\(\displaystyle \mathcal{R}^{\mathbb{R}^n}_{p,q}\mathcal{F}\)在\(1\leq p\leq 2,\ q=p'\)时有界，\(p>2,q=p'\)无界。同样的过程可推广到\(\displaystyle M\)是\(\displaystyle \mathbb{R}^n\)中有正Lebesgue测度的子集情形(此时\(\displaystyle L^2(M)\cap L^1(M)\)在\(L^2(M)\)中还是稠密的)。我们想要考虑的是\(M\)是Lebesgue零测情形，这可能对研究边界条件有帮助。
Restriction Conjecture for Curves in \(\mathbb{R}^2\)是有证明的：
令\(\displaystyle \phi:[-1,1]\to\mathbb{R}\)是\(C^2\)的函数，满足\(\displaystyle \inf_{|\xi|\leq 1}|\phi''(\xi)|\geq\nu>0\)，记Graph \(\displaystyle M^{\phi}:=\{(x,\phi(x))\in\mathbb{R}^2:x\in [-1,1]\}\)。对\(\displaystyle f:M^{\phi}\to\mathbb{C}\)，交换图
\[\begin{CD} [-1,1] @>i_{\phi}=(id,\phi)>> M^{\phi}\\ @. {_\style{display: inline-block; transform: rotate(30deg)}{\xrightarrow[\qquad\qquad]{f_{\phi}}}} @VVfV\\ @. \mathbb{C} \end{CD}\]给出拉回映射\(\displaystyle f_{\phi}:[-1,1]\to\mathbb{C},\ f_{\phi}(x)=f(x,\phi(x))\)，为方便起见我们不用\(\displaystyle M^{\phi}\)上曲线测度\(\displaystyle {\rm d}\sigma=\sqrt{1+|\nabla \phi|^2}{\rm d}x\)，而是通过上述拉回映射定义测度\(\displaystyle {\rm d}\sigma^{\phi}(U):={\rm d}(i_{\phi}^{-1}(U))\)，这样能得到等式\(\displaystyle \int_{M^{\phi}}|f(x)|^p{\rm d}\sigma^{\phi}(x)=\int_{-1}^{1}|f_{\phi}(x)|^p{\rm d}x,\ 1\leq p\leq 2\)，从而算子\(\displaystyle \mathcal{R}^{M^{\phi}}_{p,q}\mathcal{F}=:\mathcal{R}^{\phi}_{p,q}\mathcal{F}\)的有界性等价于\(\displaystyle (\int_{-1}^{1}|\hat{f}(x,\phi(x))|^q{\rm d}x)^{1/q}\lesssim \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)},\ q<\infty\).
研究算子有界性的一个有力工具是所谓伴随算子，先定义扩张算子
\[\displaystyle \forall f\in L^1([-1,1]),\ E^{\phi}f(x_1,x_2)=\int f(\xi)e(x_1\xi+x_2\phi(\xi)){\rm d}\xi,\ x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\]
是与曲线\(\displaystyle (\xi,\phi(\xi))\)对应的扩张算子，有定理
Thm 对\(\displaystyle q>4,\frac{3}{q}+\frac{1}{r}\leq1\)成立\[\displaystyle \|E^{\phi}f\|_{L^q(\mathbb{R}^2)}\lesssim_{\nu}\|f\|_{L^r([-1,1])}\].
观察到全空间中有Lebesgue零测子区域上函数扩张到全空间的某些norm可被子区域上函数本身的某些norm控制。如果没有什么反向的结果，这不会对从全空间研究带边问题带来什么贡献。边界条件特别是Dirichlet条件造成的困难应当如何克服？
2023.10.03
考虑2维NS方程的稳态解，若令\((U,W)\)是原方程的速度、涡度解，\((U^0,W^0)\)是稳态解，即
\[\begin{align*} \displaystyle \left\{\begin{array}{l} \partial_t W + U\cdot \nabla W - \Delta W = 0,\\ U^0\cdot \nabla W^0 -\Delta W^0 = 0, \end{array}\right. \end{align*}\]
作差方程\(u=U-U^0,\omega=W-W^0\)得
\[\displaystyle \partial_t\omega + u\cdot \nabla \omega-\Delta\omega=-U\cdot\nabla W^0-U^0\cdot\nabla W + U^0\cdot\nabla W^0+\Delta W^0\]
假设\(\displaystyle U\cdot\nabla W^0=0\rightarrow \partial_1W^0=\partial_2W^0=0\)，知 \[\begin{cases}\displaystyle \Delta U^0_2=0=\Delta U^0_1,\\ \nabla\cdot U^0=0. \end{cases}\]考虑调和多项式，则$\(U^0_1, U^0_2\)的解首先在\(\{1,x_1,x_2,x_1x_2,x_1^2-x_2^2\}\)张成的5维多项式空间中，且散度为0，即得
\[\begin{align*} \displaystyle U^0_1&=A_1+B_1x_1+C_1x_2+D_1x_1x_2+E_1 (x_1^2 - x_2^2),\\ U^0_2&=A_2+B_2x_1-B_1x_2-2E_1x_1x_2+\frac{D_1}{2} (x_1^2 - x_2^2),\\ W^0&=B_2 - C_1, \end{align*}\]
并得方程
\[\displaystyle \partial_t \omega + u\cdot\nabla \omega-\Delta\omega+ U^0\cdot\nabla\omega=0\]
考虑Hypoellipticity有\(\displaystyle [X_0,X_1]=(B_1+D_1x_2+2E_1x_1)\partial_1 + (B_2-2E_1x_2+D_1x_1)\partial_2\)，可通过验证\(aX_1+b[X_0,X_1]=0\Rightarrow a=b=0\)知算子\(P=\partial_t+U^0\cdot\nabla-\Delta\)是Hypoelliptic的。
更一般地，\(X_0=\partial_t+U^0_1\partial_1+U^0_2\partial_2,\ [X_0,X_1]=\partial_1 U^0_1\partial_1 + \partial_1 U^0_2\partial_2\)，只要\(\partial_1U^0_2\not\equiv0\)也得算子\(P=\partial_t+U^0\cdot\nabla-\Delta\)是Hypoelliptic的。
（PS：著名的Couette流即\(A_1=B_1=A_2=C_1=D_1=E_1=0\)情形。另，要读的Moffatt模型甚至提到Arnold关于测地线的工作，而这正是笔者前几次札记试图记录的想法，不可谓之不巧！）
2023.9.23
关于9.17的问题，发现mse上有人问了一样的东西——Navier-Stokes方程的粘性项的存在造成时间的不对称，同时测地流必然是时间对称的。若去掉粘性项，可得到欧拉方程，该方程有一个众所周知的VI Arnold 表征（Tao在17年有一篇关于Boussinesq方程嵌入问题的博客，毕竟前者和轴对称Euler有关系）。这看上去很合理，因为粘性项是耗散项，而测地线一般和保守力/场有关系。第三篇Note已经上传，接下来优化第一篇Note。
2023.9.17
第三份笔记正在写作中，乍看之下并无新的知识增长点。刷牙时想到二维流体如果追踪一个粒子的轨迹，是否是某种流形上的(类时)测地线：
\[\begin{align*} \displaystyle T^{\mu\nu}&=\rho U^{\mu} U^{\nu} \\ \langle 0&=\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=\rho U^{\nu} \nabla_{\mu}U^{\mu} + \rho U^{\mu}\nabla_{\mu} U^{\nu}+(\partial_{\mu}\rho)U^{\mu} U^{\nu}, U_{\nu} \rangle \\ \Rightarrow 0&=\rho\underbrace{U^{\nu} U_{\nu} }_{-1} \nabla_{\mu}U^{\mu} + \rho \underbrace{U^{\mu} U_{\nu}}_{=0} \nabla_{\mu} U^{\nu} + (\partial_{\mu} \rho) U^{\mu} \underbrace{U_{\nu}U^{\nu}}_{-1} \\ &= -\rho \nabla_{\mu} U^{\mu} - (\partial_{\mu}\rho) U^{\mu} = -\nabla_{\mu}(\rho U^{\mu}) \end{align*}\]
对能量等式整理得
\[0=U^{\nu}\nabla_{\mu}(\rho U^{\mu}) + \rho U^{\mu}\nabla_{\mu}U^{\nu} = \underbrace{\rho}_{\neq 0}U^{\mu}\nabla_{\mu}U^{\nu}=U^{\mu}\nabla_{\mu}U^{\nu}\]
此即类时测地线。当压力为0或恒常，依然有\(T^{\mu\nu}=(\rho +p)U^{\mu} U^{\nu} + pg^{\mu\nu}\Rightarrow \nabla_{\mu}(pg^{\mu\nu})=0\)，似乎压力非恒常时并不成立。如能通过测地线把流体方程与相对论那样的双曲方程结合，是否会带来新的结构？待看：佟大为的gr讲义\(\rightarrow\)fluid讲义。
2023.9.5
宴罢瑶池阿母家，嫩惊飞上紫云车。北国的校园里玉簪开了一大片，花语脱俗、冰清玉洁。才知有江南第一花的叫法，倒是我的无知了。第二份笔记在提取复杂情形的“复杂”需花些时间，暂且不花时间润色，因为下个任务来了。
2023.8.27
今日见老胡说科学公众号一推送简单科普李群李代数，直观，遂记之。
散步时想到Hörmander关于pde中Hypoellipticity的刻画动用了Lie代数，进而想问Algebric geometry和pde有无联系？得到如下信息：
- MO一则问答，关键词：可积pde、物理中的费米子共形场论、弦论、蒙日-安培方程等。
- D模理论或“代数分析” (algebraic analysis)是 "线性偏微分方程的代数理论"，用层论和同调代数来研究PDE。 它由佐藤幹夫学派 (特别是柏原正树, 河合隆裕) 所创建发展 (Bernstein 和 Beilinson 亦独立发展了代数簇上的平行理论)， 在许多数学领域有广泛应用。有一些更晚近的标志性事件，如 Bernstein 对 Gelfand 问题的解，柏原正树 (以及 Mebkhout) 对 "Riemann--Hilbert 对应" 的证明，斋藤盛彦对 "Hodge 模" 理论的建立等。
- [KKK] "Foundations of Algebraic analysis" is not easy for beginners, I highly recommend to read A. Kaneko's "Introductions to Hyperfunctions", and Morimoto "An introduction to Sato's Hyperfunctions". And there is another one "Fundamentals of Algebraic microlocal analysis" by Struppa and Kato, also very good. [SKK]/LNM 287 is another classical book, but very hard to read. Please try to search M. Sato, M. Kashiwara, P. Schapira, and else.
2023.8.24
花了一个下午搭建了Bolg，佛系更新就此开始。最近在读关于Hypoelliptic的东西，希望之后能用上。
另外插个广告，博主今年初参与并发表了第一篇paper，主要内容是：
\[\begin{align}\label{beq} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \partial_t u + u\cdot\nabla u + u + \nabla p - \theta e_2 = 0, \ \ \ \ x\in\Omega,\ t>0,\\ \partial_t \theta + u\cdot\nabla \theta + u_2 = 0, \\ div \ u = 0, \\ \partial_2 u_1=u_2=0, \ \ \ \ x\in\partial \Omega,\ t>0,\\ u(x, 0)=u_0(x), \ \theta(x, 0)=\theta_0(x), \ \ \ \ x\in\Omega, \end{array}\right. \end{align}\]
Theorem (L. & R., 2023) Let \((u_0,\theta_0) \in H^3(\Omega)\) satisfy \(\nabla\cdot{u_0}=0\) in \(\Omega\), and \(\theta_0=\partial_2^2\theta_0=0\) on \(\partial\Omega\). If
\[\begin{align} \displaystyle \|u_0\|_{H^3 (\Omega)}^2 + \|\theta_0\|_{H^3 (\Omega)}^2 \leq \epsilon^2 \end{align}\]
for some suitable small \(\epsilon\), then the Boussinesq system above admits a unique global solution \((u,\theta)\in C(\left[0,+\infty\right); H^3(\Omega))\) and there exists some constant \(C_0>0\) such that
\[\begin{align} \displaystyle (\|u(t)\|_{H^3 (\Omega)}^2 + \|\theta(t)\|_{H^3 (\Omega)}^2) + \int_{0}^{t}(\|u(s)\|_{H^3 (\Omega)}^2 + \|\partial_1\theta(s)\|_{H^2 (\Omega)}^2)\mathrm{d}s \leq C_0(\|u_0\|_{H^3 (\Omega)}^2 + \|\theta_0\|_{H^3 (\Omega)}^2) \end{align}\]
for all \(t>0\).